Las muñecas matrioskas de Emmy Noether

Emmy Noether fue una matemática alemana nacida en el año 1882. A pesar de su complejo contexto histórico, al ser una mujer judía durante la primera guerra mundial y además una académica en un entorno dominado por hombres, fue capaz de sobresalir de forma exitosa. En la actualidad se le considera una de las mujeres más importantes en la historia de la ciencia y la matemática.

Un legado sin precedentes

Su trabajo ha abarcado, entre otras cosas, la construcción de puentes sólidos entre elementos del álgebra abstracta, múltiples trabajos en el desarrollo de topología algebraica (que es el estudio de las propiedades que poseen los objetos geométricos), y las cantidades físicas de un sistema. Este último culminó en el Teorema de Noether una de las herramientas más fundamentales dentro la física teórica en la actualidad.

Desde ya es obvio que los intereses y talentos de Emmy Noether estaban alineados a la comprensión y desarrollo del álgebra a tal punto que desarrolló una idea revolucionaria: la llamada Condición de cadena ascendente.

¿En qué consiste? Esta impone a las agrupaciones de elementos algebraicos tener una secuencia de pasos finitos en la cual todos los elementos se vayan conteniendo entre sí de manera ascendente.

Dicho de esta manera no queda muy claro el potencial de esta idea, pero para nuestra suerte existe un juguete que nos puede ayudar a entender lo que postuló Emmy Noether: las matrioskas o “muñecas rusas”, cuya característica principal es la de ser contenidas por versiones más grandes de sí mismas.

La matrioska de Noether

Ahora, imaginemos que marcamos con la letra “A” a la muñeca más pequeña. Si quisiéramos guardar esta muñeca, lo más adecuado sería etiquetar la muñeca que la contenga con las letras “A y B” y así hasta ir guardando las muñecas una dentro de otra con su respectiva etiqueta (“A, B y C”, “A, B, C y D”, y así sucesivamente).

Imagen 1. Matrioskas inspiradas en Emmy Noether. Esta imagen muestra cómo se realiza la contención entre muñecas descrita anteriormente mediante la relación de los elementos en su etiqueta.

De esta manera, hemos definido los elementos de nuestro conjunto de muñecas (A, B, C) y su relación entre ellos usando las etiquetas.

Ahora, pensemos en el conjunto de los números enteros, aquel que contiene todos los números enteros positivos, negativos y al 0. Dado que este conjunto tiene infinitos elementos es conveniente definir un criterio para agruparlos. Por ejemplo, si elegimos sus múltiplos (factores comunes), tendremos el conjunto múltiplos de x compuesto por todos los números que se pueden tener al multiplicar x, cualquier número entero, por otro.

Si le asignamos a cada muñeca matrioska un conjunto de “múltiplos de x” y procedemos a guardarlas de la misma manera que cuando tenían letras, nos encontraríamos con un problema: ¿qué valores numéricos puede tomar x?

Para responder esta pregunta podemos visualizar a las muñecas que contienen “los múltiplos de 4” (4, 8, 12, 16, 20, 24…) y “los múltiplos de 6” (6, 12, 18, 24…). Estos dos conjuntos tienen elementos en común, como el 12, 24, 36 o 48, pero también tiene elementos no comunes como el 8, 16 o 18, por lo que ninguna de las dos puede actuar como la muñeca contenedora de la otra.

Imagen 2. Representación de las muñecas correspondientes a múltiplos 4 y 6, dada que ambas son del mismo tamaño, no pueden contenerse.

Esto resulta sumamente interesante, ya que, a diferencia de nuestro primer acercamiento con las muñecas, ahora tenemos una condición extra sobre la muñeca contenedora: esta debe ser capaz de guardar a la muñeca más pequeña y a su vez contener los múltiplos de esta.

Visto desde otra perspectiva, la muñeca de menor tamaño debe representar a los múltiplos de la más grande. Por ejemplo, la muñeca correspondiente a “los múltiplos de 36” puede ser contenida por la siguiente secuencia de muñecas: “múltiplos de 12”, “múltiplos de 4” y “múltiplos de 2”. “Múltiplos de 9” y “múltiplos de 3”, también serían capaces de contener dicha muñeca.

Imagen 3. Matriuskas que representan una cadena ascendente que empieza con “múltiplos ed 36” y termina en “múltiplos de 2” y se van conteniendo una dentro de otra.

Estas secuencias nos han mostrado una estrecha relación entre los conjuntos numéricos y la naturaleza de las muñecas matrioskas, siendo ambas agrupaciones de elementos condicionados a tener una relación de contención, donde un elemento es contenido dentro de otro, teniendo así una secuencia finita y ascendente. Calza con la definición y le da sentido al nombre de Condición de cadena ascendente.

Ahora que entendemos mejor la idea de Emmy, quizás estaríamos tentados a pensar que es un concepto simple, pero ella lo extendió a diversos tipos de objetos matemáticos y obteniendo resultados fundamentales.